Ιδιότητες πολυγώνων

Δείτε επίσης: Υπολογισμός περιοχής

Αυτή η σελίδα εξετάζει τις ιδιότητες των δισδιάστατων ή «επίπεδων» πολυγώνων. Ένα πολύγωνο είναι οποιοδήποτε σχήμα που αποτελείται από ευθείες γραμμές που μπορούν να σχεδιαστούν σε μια επίπεδη επιφάνεια, όπως ένα κομμάτι χαρτί. Τέτοια σχήματα περιλαμβάνουν τετράγωνα, ορθογώνια, τρίγωνα και πεντάγωνα αλλά όχι κύκλους ή οποιοδήποτε άλλο σχήμα που περιλαμβάνει καμπύλη.

Η κατανόηση των σχημάτων είναι σημαντική στα μαθηματικά. Σίγουρα θα σας ζητηθεί να μάθετε για τα σχήματα στο σχολείο, αλλά η κατανόηση των ιδιοτήτων των σχημάτων έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές και σε επαγγελματικές και πραγματικές καταστάσεις.

Πολλοί επαγγελματίες πρέπει να κατανοήσουν τις ιδιότητες των σχημάτων, όπως μηχανικούς, αρχιτέκτονες, καλλιτέχνες, κτηματομεσίτες, αγρότες και εργάτες.



Ίσως χρειαστεί να καταλάβετε τα σχήματα όταν κάνετε βελτιώσεις στο σπίτι και DIY, κατά την κηπουρική και ακόμη και όταν προγραμματίζετε ένα πάρτι.

Όταν εργάζεστε με πολύγωνα, οι κύριες ιδιότητες που είναι σημαντικές είναι:

  • ο αριθμός πλευρών του σχήματος.
  • ο γωνίες μεταξύ των πλευρών του σχήματος.
  • ο μήκος των πλευρών του σχήματος.

Αριθμός πλευρών

Τα πολύγωνα συνήθως ορίζονται από τον αριθμό των πλευρών που έχουν.

Τρίπλευρα πολύγωνα: Τρίγωνα

Ένα τρίγωνο πολύγωνο είναι ένα τρίγωνο. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τριγώνων (δείτε το διάγραμμα), όπως:

  • Ισόπλευρος - όλες οι πλευρές έχουν ίσο μήκος και όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι 60 °.
  • Ισοσκελής - έχει δύο ίσες πλευρές, με την τρίτη διαφορετικό μήκος. Δύο από τις εσωτερικές γωνίες είναι ίσες.
  • Σκαληνός - και οι τρεις πλευρές και οι τρεις εσωτερικές γωνίες είναι διαφορετικές.

Τα τρίγωνα μπορούν επίσης να περιγραφούν από την άποψη των εσωτερικών τους γωνιών (δείτε τη σελίδα μας στο Γωνίες για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις γωνίες ονομασίας). Οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου προσθέτουν πάντα έως 180 °.

Ένα τρίγωνο με μόνο οξύς οι εσωτερικές γωνίες ονομάζονται οξεία (ή οξεία γωνία) τρίγωνο. Ένα με ένα κουτός γωνία και δύο οξείες γωνίες ονομάζεται αμβλεία (αμβλεία γωνία) και μία με α ορθή γωνία είναι γνωστό ως ορθογώνιο.

Κάθε ένα από αυτά θα επίσης να είναι είτε ισόπλευρα, ισοσκελή ή σκαληνός .

Τύποι τριγώνων. Ισόπλευρη, οξεία, ορθή γωνία, αόριστη. Isosceles και Scalene.

Τετράπλευρα πολύγωνα - Τετράπλευρα

Τα τετράπλευρα πολύγωνα αναφέρονται συνήθως ως τετράπλευρα, τετράπλευρα ή μερικές φορές τετράγωνα. Στη γεωμετρία ο όρος τετράπλευρο χρησιμοποιείται συνήθως. Ο όρος τετράπλευρο χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψει έναν ορθογώνιο κλειστό εξωτερικό χώρο, για παράδειγμα «τα φρέσκα που συναρμολογούνται στο τετράγωνο του κολλεγίου». Ο όρος τετράγωνο συμβαδίζει με το πολύγωνο, το πεντάγωνο κ.λπ. Μπορεί να το συναντήσετε περιστασιακά, αλλά δεν χρησιμοποιείται συνήθως στην πράξη.

Η οικογένεια των τετράπλευρων περιλαμβάνει το τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβο και άλλα παραλληλόγραμμα, τραπεζοειδή / τραπεζοειδή και χαρταετούς.

Οι εσωτερικές γωνίες όλων των τετράπλευρων προσθέτουν έως και 360 °.

Τετράπλευρα. Τέσσερις όψεις σχήματα όπως τετράγωνο, ορθογώνιο, παραλληλόγραμμο, ρόμβος, τραπεζάκι και χαρταετός.
  • τετράγωνο : Τέσσερις πλευρές ίσου μήκους, τέσσερις εσωτερικές ορθές γωνίες.

  • Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο : Τέσσερις εσωτερικές ορθές γωνίες, αντίθετες πλευρές ίσου μήκους.

  • Παραλληλόγραμμο : Οι αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες, οι αντίθετες πλευρές έχουν ίσο μήκος, οι αντίθετες γωνίες είναι ίσες.

  • Ρόμβος : Ένας ειδικός τύπος παραλληλόγραμμου στο οποίο και οι τέσσερις πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, όπως ένα τετράγωνο που έχει συμπιεστεί πλαγίως.

  • Τραπέζιο (ή τραπεζοειδές) : Οι δύο πλευρές είναι παράλληλες, αλλά οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι. Τα πλάγια μήκη και οι γωνίες δεν είναι ίσες.

  • Isosceles Trapezium (ή τραπεζοειδές) : Οι δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι γωνίες βάσης είναι ίδιες, πράγμα που σημαίνει ότι οι μη παράλληλες πλευρές έχουν επίσης ίσο μήκος.

  • Χαρταετός : Δύο ζεύγη γειτονικών πλευρών έχουν ίσο μήκος. το σχήμα έχει έναν άξονα συμμετρίας.

  • Ανώμαλο τετράπλευρο : ένα τετράπλευρο σχήμα όπου καμία πλευρά δεν είναι ίση σε μήκος και καμία εσωτερική γωνία δεν είναι ίδια. Όλες οι εσωτερικές γωνίες εξακολουθούν να προσθέτουν έως και 360 °, όπως και με όλες τις άλλες κανονικές τετράπλευρες.



Περισσότερες από τέσσερις πλευρές

Ένα σχήμα πέντε όψεων ονομάζεται πεντάγωνο.

Ένα σχήμα έξι όψεων είναι ένα εξάγωνο, ένα σχήμα επτά όψης ένα επτάγωνο, ενώ ένα οκτάγωνο έχει οκτώ πλευρές…

Ονόματα πολυγώνων


Τα ονόματα των πολυγώνων προέρχονται από τα προθέματα των αρχαίων ελληνικών αριθμών. Το ελληνικό αριθμητικό πρόθεμα εμφανίζεται σε πολλά ονόματα καθημερινών αντικειμένων και εννοιών. Αυτά μπορεί μερικές φορές να σας βοηθήσουν να θυμηθείτε πόσες πλευρές έχει ένα πολύγωνο. Για παράδειγμα:

  • Ένα χταπόδι έχει οκτώ πόδια - ένα οκτάγωνο έχει οκτώ πλευρές.
  • Μια δεκαετία είναι δέκα χρόνια - ένας δεκάγωνος έχει δέκα πλευρές.
  • Το σύγχρονο pentathlon έχει πέντε εκδηλώσεις - ένα πεντάγωνο έχει πέντε πλευρές.
  • Ένα Ολυμπιακό επτάθλο έχει επτά γεγονότα - ένα επτάγωνο έχει επτά πλευρές.

Το πρόθεμα «πολυ-» σημαίνει απλά «πολλαπλάσιο», οπότε ένα πολύγωνο είναι ένα σχήμα με πολλές πλευρές, με τον ίδιο τρόπο που το «πολυγαμία» σημαίνει πολλούς συζύγους.


Υπάρχουν ονόματα για πολλούς διαφορετικούς τύπους πολυγώνων και συνήθως ο αριθμός των πλευρών είναι πιο σημαντικός από το όνομα του σχήματος.

Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι πολυγώνου - κανονικό και ακανόνιστο.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές μήκους με ίσες γωνίες μεταξύ κάθε πλευράς. Οποιοδήποτε άλλο πολύγωνο είναι ένα ακανόνιστο πολύγωνο , το οποίο εξ ορισμού έχει άνισες πλευρές μήκους και άνισες γωνίες μεταξύ πλευρών.

Οι κύκλοι και τα σχήματα που περιλαμβάνουν καμπύλες δεν είναι πολύγωνα - ένα πολύγωνο, εξ ορισμού, αποτελείται από ευθείες γραμμές. Δείτε τις σελίδες μας κύκλους και καμπύλα σχήματα για περισσότερα.

Προσδιορισμός πολυγώνων Κανονικά, ακανόνιστα, κοίλα, κυρτά και σύνθετα πολύγωνα.

Γωνίες μεταξύ πλευρών

Οι γωνίες μεταξύ των πλευρών των σχημάτων είναι σημαντικές κατά τον καθορισμό και την εργασία με πολύγωνα. Δείτε τη σελίδα μας στο Γωνίες για περισσότερα σχετικά με τον τρόπο μέτρησης των γωνιών.

Υπάρχει ένας χρήσιμος τύπος για να μάθετε το σύνολο (ή το άθροισμα) των εσωτερικών γωνιών για οποιοδήποτε πολύγωνο, δηλαδή:

(αριθμός πλευρών - 2) × 180 °

πώς να βρείτε κίνητρα για μελέτη

Παράδειγμα:

Για ένα πεντάγωνο (σχήμα πέντε όψεων) ο υπολογισμός θα ήταν:

5 - 2 = 3

3 × 180 = 540 °.

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών για οποιοδήποτε (όχι σύνθετο) πεντάγωνο είναι 540 °.

μη λεκτικός ορισμός και παραδείγματα επικοινωνίας

Επιπλέον, εάν το σχήμα είναι κανονικό πολύγωνο (όλες οι γωνίες και το μήκος των πλευρών είναι ίσες) τότε μπορείτε απλά να διαιρέσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών με τον αριθμό των πλευρών για να βρείτε κάθε εσωτερική γωνία.

540 ÷ 5 = 108 °.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ τακτικός Το πεντάγωνο έχει επομένως πέντε γωνίες κάθε μία ίση με 108 °.


Το μήκος των πλευρών

Εκτός από τον αριθμό των πλευρών και τις γωνίες μεταξύ των πλευρών, το μήκος κάθε πλευράς των σχημάτων είναι επίσης σημαντικό.

Το μήκος των πλευρών ενός επίπεδου σχήματος σάς επιτρέπει να υπολογίζετε το σχήμα περίμετρος (η απόσταση γύρω από το εξωτερικό του σχήματος) και περιοχή (το μέγεθος του χώρου μέσα στο σχήμα).

Μήκος πλευρών

Εάν το σχήμα σας είναι ένα κανονικό πολύγωνο (όπως ένα τετράγωνο στο παραπάνω παράδειγμα) τότε είναι απαραίτητο να μετρήσετε μόνο τη μία πλευρά καθώς, εξ ορισμού, οι άλλες πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου έχουν το ίδιο μήκος. Είναι σύνηθες να χρησιμοποιείτε σημάδια τσιμπούρι για να δείξετε ότι όλες οι πλευρές έχουν ίσο μήκος.

Στο παράδειγμα του ορθογωνίου χρειάστηκε να μετρήσουμε δύο πλευρές - οι δύο πλευρές που δεν έχουν μετρηθεί είναι ίσες με τις δύο μετρούμενες πλευρές.

Είναι κοινό για ορισμένες διαστάσεις να μην εμφανίζονται για πιο περίπλοκα σχήματα. Σε τέτοιες περιπτώσεις μπορούν να υπολογιστούν οι διαστάσεις που λείπουν.

Βρίσκοντας τα μήκη των πλευρών που λείπουν.

Στο παραπάνω παράδειγμα, λείπουν δύο μήκη.

Το οριζόντιο μήκος που λείπει μπορεί να υπολογιστεί. Πάρτε το μικρότερο οριζόντιο γνωστό μήκος από το μεγαλύτερο οριζόντιο γνωστό μήκος.

9μ - 5,5μ = 3,5μ.

Η ίδια αρχή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του κατακόρυφου μήκους που λείπει. Αυτό είναι:

3μ - 1μ = 2μ.


Συγκέντρωση όλων των πληροφοριών: Υπολογισμός της περιοχής των πολυγώνων

Το απλούστερο και πιο βασικό πολύγωνο για τον υπολογισμό της περιοχής είναι το τετράπλευρο. Για να αποκτήσετε την περιοχή, απλώς πολλαπλασιάζετε το μήκος με το κάθετο ύψος.

Για παραλληλόγραμμα, σημειώστε ότι το κατακόρυφο ύψος είναι ΔΕΝ το μήκος της κεκλιμένης πλευράς, αλλά η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο οριζόντιων γραμμών.

Αυτό συμβαίνει επειδή ένα παραλληλόγραμμο είναι ουσιαστικά ένα ορθογώνιο με ένα τρίγωνο κομμένο στο ένα άκρο και επικολλημένο στο άλλο:

Ορθογώνιο και ρόμβος

Μπορείτε να δείτε ότι εάν αφαιρέσετε το αριστερό μπλε τρίγωνο και το κολλήσετε στο άλλο άκρο, το ορθογώνιο γίνεται παραλληλόγραμμο.

Η περιοχή είναι μήκος (η άνω οριζόντια γραμμή) πολλαπλασιαζόμενη με το ύψος, η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο οριζόντιων γραμμών.

Για να επεξεργαστείτε την περιοχή ενός τρίγωνο , πολλαπλασιάζετε το μήκος κατά κατακόρυφο ύψος (δηλαδή, το κατακόρυφο ύψος από την κάτω γραμμή έως το πάνω σημείο) και το μισό. Αυτό είναι ουσιαστικά επειδή ένα τρίγωνο είναι μισό ορθογώνιο.

Για τον υπολογισμό της περιοχής οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου , ο ευκολότερος τρόπος είναι να το χωρίσετε σε τρίγωνα και να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για την περιοχή ενός τριγώνου.

Εξάγωνο χωρίζεται σε τρίγωνα για τον υπολογισμό της περιοχής.

Έτσι, για ένα εξάγωνο, για παράδειγμα:

Μπορείτε να δείτε από το διάγραμμα ότι υπάρχουν έξι τρίγωνα.

Η περιοχή είναι:

Ύψος (κόκκινη γραμμή) × μήκος πλευράς (μπλε γραμμή) × 0,5 × 6 (επειδή υπάρχουν έξι τρίγωνα).

Μπορείτε επίσης να επεξεργαστείτε την περιοχή οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία, αλλά αυτό είναι μάλλον πιο περίπλοκο.

Δείτε τη σελίδα μας Υπολογισμός περιοχής για περισσότερα, συμπεριλαμβανομένων παραδειγμάτων.

Μπορείτε επίσης να επεξεργαστείτε την περιοχή οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία, αλλά αυτό είναι μάλλον πιο περίπλοκο. Δείτε μας Εισαγωγή στην τριγωνομετρία σελίδα για περισσότερες πληροφορίες.

Συνέχισε να:
Υπολογισμός περιοχής
Κυρτές μορφές